Введение
Более 80% компаний из списка Fortune 500 достигли своего успеха, используя математическую оптимизацию (экономико-математическое моделирование) при принятии решений, получая от этого максимально эффективные бизнес-решения, реализация которых позволила зарабатывать в среднем на 25% больше конкурентов.
Математическая оптимизация уже преобразовала целые отрасли, решая самые сложные бизнес-задачи, повышая операционную эффективность компаний.
Сегодня мы ознакомимся с основными подходами экономико-математического моделирования на примере решения бизнес-задачи:
для компании, которая производит и продает 2-а продукта А и B, необходимо составить план производства на предстоящий месяц. Себестоимость продуктов: A - 37$, B - 49$. Цена продажи А - 40$, B - 56$.
Основные этапы математической оптимизации
Объявление исходных данных
Начнем разработку плана производства с определения ожидаемого уровня спроса на выпускаемую продукцию. На основании информации об объемах продаж прошлых периодов, ожидается, что в следующем месяце значение спроса на продукт А составит ~ 230 ед., на продукт B ~ 250 ед.
Для упрощения восприятия материала, мы будем дублировать все наши рассуждения на графике:
где, горизонтальная ось представляет количество единиц продукта B, вертикальная ось – количество продукта A. Любая точка на графике определяет план производства продуктов A и B. Красные: вертикальная и горизонтальная линии, отображают графически значения спроса на продукт А(горизонтальная линия) и В (вертикальная линия).
Определение ограничений
Далее, необходимо определить действующие для нашего производства ограничения (юридические, технические, технологические, организационно-правовые, и др. ограничения) а именно:
▪ Условия поставок сырья (периодичность и объем поставок). В нашем случае поставщики могут полностью удовлетворить потребность в сырье для продукции A, и только на 200 ед. для продукции B;
▪ Имеющееся оборудование, используется для изготовления продукции A и B. Таким образом, если оборудование занято на производстве продукта A, в это время продукт B не выпускается;
▪ Максимальный объем выпуска продукции также ограничен вместимостью складских помещений;
▪ Кроме вышеперечисленных юридических, технических и технологических ограничений производства, для каждого предприятия имеется экономическая точка безубыточности, которая характеризуется минимальным объемом производства (продаж);
Отобразим все вышеизложенные ограничения на графике:
В результате нанесения на график рассмотренных ограничений, мы получим допустимую область для нашего плана производства:
Допустимая область - символизирует «окно возможностей» нашего производства. Любая точка внутри этой области характеризует допустимый план производства, который удовлетворяет (не противоречит) всем действующим ограничениям. Точки, расположенные за пределами данной области, представляют собой невозможные планы производства (т.к. выходят за пределы действующих ограничений), либо экономически не целесообразны, т.к. лежат ниже уровня безубыточности.
Формулировка цели
После того, как определены все действующие ограничения, нам необходимо ввести в математическую модель еще один важный элемент:
Из рисунка выше следует, что любой план производства (каждая точка) внутри допустимой области характеризуется объемом производства продуктов A и B. Неопределенность рассматриваемой ситуации заключается в том, что в пределах допустимой области можно вместить огромное множество точек, характеризующих различные планы производства. Среди имеющегося множества вариантов, менеджеру необходимо выбрать план, который принесет максимальный положительный результат для достижения целей компании.
Для нашего примера, будем считать, что целью деятельности компании является максимизация прибыли. Следует иметь в виду, что цели деятельности компании зависят от фазы её развития и могут изменяться в зависимости от складывающейся рыночной конъюктуры. Следует отметить, что цель деятельности компании оказывает определяющее влияние на итоговую структуру плана производства. Каждая цель деятельности, будь то: вывод на рынок нового продукта, расширение объемов продаж, максимизация прибыли, - характеризуется своим отдельным планом производства.
Решение экономико-математической модели
Таким образом, проанализировав информацию об имеющихся ограничениях, а также принимая во внимание цель деятельности компании, мы можем найти план производства, который максимизирует прибыль. Нетрудно убедиться в том, что наилучшее решение на графике всегда максимально отдалено от начала координат и лежит на границе допустимой области. (Необходимо отметить, что поиск наилучшего плана производства алгоритмами прямого перебора всех значений даже для такой простой задачи потребует много времени. Время решения растет экспоненциально с увеличением количества рассматриваемых продуктов и ограничений.
Например, задача с 50 переменными и ограничениями уже не может быть решена методами прямого перебора решений. Реальные управленческие ситуации могут включать в себя сотни тысяч и миллионы переменных и ограничений. Для решения таких задач, были разработаны специальные алгоритмы именуемые SOLVERS, особенность работы которых, заключается в том, что их алгоритмы определяют границы допустимой области, и весь дальнейший поиск наилучшего решения ведут в пределах найденных границ. Такой подход позволяет решать масштабные задачи оптимизации, недоступные для решения методами прямого перебора.)
При максимизации прибыли, наилучшим из вариантов, является план производства, заданный точкой D на графике (объем выпуска: A - 110 шт., B - 210 шт.). Реализация которого принесет прибыль 1 850$. В случае, когда целью деятельности компании является максимизация объема продаж, следует выбрать план производства характеризующийся точкой С (объем выпуска: A - 80 шт., B - 230 шт.). В этом случае, компания сможет максимизировать выручку (16 160$), но проиграет в прибыли (1 800$). Как мы видим, для каждой цели деятельности характерен свой отдельный план производства.
Заключение
Рассмотренный нами пример демонстрирует всю сложность, даже, казалось бы, простой управленческой ситуации. В реальном мире, менеджеры ежедневно сталкиваются с подобными ситуациями, и принимают решения полагаясь на свои опыт и интуицию. Однако, опытно-интуитивный метод принятия решений, малоэффективен, подвержен большому влиянию человеческого фактора, и экономически оправдан только для уникальных (не встречающихся ранее) управленческих ситуаций. Для повторяющихся ситуаций, опытно-интуитивный метод принятия решений, значительно уступает по эффективности - решениям, принятым с использованием экономико-математического моделирования.
Следует отметить, что польза математической оптимизации не ограничивается поиском оптимального решения, - инструментарий математической оптимизации позволяет моделировать различные условия деятельности бизнеса, задолго до того, как бизнес с ними столкнется в реальности, а именно:
▪ Выявить ограничения, которые препятствуют или будут препятствовать в будущем достижению целей и развитию. Например, мы можем заранее выявить критические ограничения, которые будут препятствовать увеличению прибыли на 20%. Из представленного выше графика видно, что дальнейшее увеличение прибыли возможно при условии увеличения складских площадей и закупки или аренды дополнительного оборудования;
▪ Проводить многоуровневый и всесторонний анализ эластичности / устойчивости решения при изменении внешних и внутренних условий деятельности. Например, мы можем определить, как изменится прибыль или выручка в случае изменения уровня цены и/или спроса, или если контрагент нарушит условия поставки сырья;
▪ Определять коридоры допустимых изменений условий деятельности (анализ устойчивости бизнеса);